(y la refutación de una "Leyenda dorada")

Primero, yo propongo una tesis acerca de las características generales y de los desarrollos en matemáticas y en las artes visuales desde el punto de vista de dos tipos básicos de "estructuras", las fuerzas dominantes en la historia:
 
 

Claramente este es un esquema simplificado, pero útil para comprender algunas tendencias. Obviamente la lista de preferencias no son exclusivas sino dominantes 

( por ejemplo los estados-ciudades griegas estaban mas interesados en geometría que en álgebra, pero manejaban ambas al mismo tiempo). Echemos un vistazo al fondo lógico de estas preferencias, aunque debemos admitir que la historia no es realmente un campo asociado con la lógica.

Un gran imperio, usualmente necesita de una administración central con muchas oficinas locales que realicen la gerencia financiera y económica. Los deberes de medir y archivar los datos económicos, la recolección de impuestos y la distribución de bienes y servicios desde los lugares centrales. Y así sucesivamente requiere de una focalización especial en la data numérica y su tratamiento. En su mayoría los grandes imperios están interesados en reformar los calendarios existentes y realizar su propia versión, que esta basada en la observación astronómica (y algo de geometría) y en cálculos numéricos. Paralelamente un imperio necesita de un gran numero de edificios de varias categorías: Palacios y oficinas para los lideres locales; centros para actividades culturales, religiosas y administrativas, objetos de una infraestructura a gran escala, etc. Esto significa que a los artistas se les comisiona para construir y decorar varios edificios similares. Frecuentemente la rapidez es más importante que la calidad artística. De otro lado un país pequeño o una región relativamente aislada tiene un fuerte enfoque en la división cuidadosa y en la delimitación territorial basada en la "geo+metría". Aquí no se coarta a los artistas a realizar un gran número de objetos estandarizados; y tienen mejores posibilidades de representar su visión individual.

Babilonia, Egipto, China, India, los Mayas, el imperio islámico Abasid y el imperio Británico han producido análisis admirables en álgebra y matemáticas respectivamente. Aquí también pensamos acerca de la introducción de sistemas numéricos con símbolos avanzados para numerales y ubicación de lugar (posición) rotacional, incluyendo el sistema sexagesimal sumérico (babilonia) basado en el 60, cerca del 2.400 a.c, el sistema decimal chino (antes del 250 a.c), el sistema Maya basado en el 20 con la idea del cero (250 a.c) y el antiguo sistema decimal hindú y los numerales, originalmente usado por los brahamanes (sacerdotes), el cual se convirtió posteriormente en el sistema rotacional hindú-arábigo. El término cero o cifra (también descifrar o decodificar) viene del árabe Sifr-Cero (o como adjetivo –vacío) que es la traducción del sanscrito Sunya-vacio. Resulta interesante ver que los griegos tenían una notación alfabética (alpha=1, beta=2, gamma=3, etc)sin un lugar-valor, lo cual la hacia bastante poco efectiva para los cálculos, de manera que los astrónomos tenían que recurrir con frecuencia al sistema babilónico. Igualmente el imperio romano no hizo avances algebraicos de significación sino que se movió de la notación griega a unos numerales romanos mejores.

Los incas desarrollaron un sistema de quipus intrincado, cuerdas anudadas, para manejar los records numéricos y para realizar algunos cálculos. Todos estos imperios de países grandes, desde Babilonia al imperio británico, produjeron un alto rango de trabajo en red de edificios con muchos objetos similares de arte y artesanía.

Claro esta, que la riqueza de emperadores y otros lideres produjo piezas de arte admirables en lugares centrales, pero estas no estaban disponibles en otras partes del imperio. De otro lado, las antiguas ciudades-estados griegas, los ducados italianos durante el renacimiento y los pequeños estados germanos, así como otros países europeos en la era moderna produjeron una geometría y artes visuales admirables en varios lugares. En cierto sentido la India esta dentro de las dos categorías: Un país grande pero no un imperio, y de hecho, ello contribuyo no solo al álgebra, sino también a la geometría y ellos tienen ambas tendencias tanto a la estandarización como a la individualidad artística. El caso del imperio Abasid es muy interesante desde el punto de vista de las artes visuales. Aunque hubo signos de estandarización, los factores religiosos contribuyeron a un arte geométrico de riqueza única como veremos mas tarde- paralelamente los matemáticos árabes que se orientaban hacia el álgebra, ocasionalmente usaban sus habilidades para problemas matemáticos, incluyendo algunas preguntas relacionadas con las artes visuales.

En Europa los sucesores del imperio romano no hicieron nuevos descubrimientos en un sentido académico, pero produjeron la arquitectura gótica que es geometría en piedra. Nuestra tesis también "funciona" si comparamos China y Japón, un imperio y un país-isla grande. La matemática china esta orientada hacia el número mientras que la geometría juega un papel menos importante.

Las matemáticas japonesas wasan tenían influencia china al principio, pero también produjeron una muy emocionante "geometría discreta", usando el termino occidental, con un especial interés en empaques densos de círculos y bolas en varias figuras. Claro que el álgebra también era un campo importante, como debería ser en un país grande. Retornando a las artes visuales, el arte japonés tenia una gran influencia china, pero el arte del jardín japonés, el ikebana, el arte de la ceremonia del te, el origami y muchos otros campos, representan un logro individual. Tambien debemos notar que estos no son campos "estandarizados". Por ejemplo hay cerca de 3.000 escuelas de ikebana. Volviendo a desarrollos mas recientes dentro de la cultura occidental, la geometría no-euclidiana no nació en un "centro", sino en un remoto sitio de Hungría (Bolyai) y en una ciudad distante del imperio ruso (Lobachevski), lo ultimo no es un contraejemplo a nuestra teoría, ya que el lugar no es San Petersburgo o Moscú, sino Kazan, la cual es mas provincial que imperial. Estos resultados de la Geometría no-euclidiana pavimentan el camino a un nuevo concepto de espacio-tiempo, que nació en Zürich (Einstein) y en Gottingen (Minkovski) y que ha tenido un gran impacto cultural en círculos amplios.

Claro está, que el contexto social y los intereses de patronazgo no determinan la focalización de los académicos y artistas pero la influencian fuertemente. Por ejemplo, Newton como guardián y despues como jefe de la casa de la moneda introdujo la estandarización de las nuevas monedas. Los académicos que construyeron la primera computadora moderna hacia finales de los 40´s y comienzos de los 50´s, incluyendo a Von Newman, trabajaron por contrato con el Instituto de Balística del laboratorio de las fuerzas armadas norteamericanas. Debemos reconocer el esfuerzo heroico de Janos Bolyai, un oficial del imperio austriaco, quien escogió el retiro prematuro con dificultades financieras para poder trabajar en geometría y en las preguntas académicas de su interés en su casa de Hungría. Esto contrasta dramáticamente con las posibilidades del Renacimiento italiano o con los estados germanos del siglo XIX. Los artistas y académicos atraían mecenazgos y en caso de tener problemas, simplemente se mudaban de lugar o cambiaban de mecenas.

Este breve estudio nos da algunas pautas inmediatas acerca de periodos en donde grandes logros en arte y geometría florecieron. Sospechamos que durante estos periodos existía algún tipo de vínculo "visual-matemático" entre ambas partes. Sin embargo, veamos de acuerdo a un orden cronológico y echemos un vistazo a los momentos "cúspide" de las matemáticas y las artes visuales desde la prehistoria. Desde los primeros tiempos, los números, que están basados en abstracciones y son difíciles de memorizar han sido representados visualmente. Contar varas era precisamente una de esas herramientas: Ayudaban a recordar el número de personas, animales y varias cosas. Podemos aventurarnos a adivinar que una alfabetización de huellas de pie que es una habilidad esencial en una sociedad recolectora y cazadora, también contribuía a la idea de un conteo numérico y una decoración linear.

El humano como hacedor de herramientas, también era un lector de huellas, y el o ella tenia un acceso inmediato a varios grupos de simetrías lineales(grupos de frisos). De hecho, las mismas huellas de animales de cuatro patas, "imprimían" diferentes grupos de simetrías, si caminaban despacio o corrían rápidamente. Las pisadas y las huellas ofrecen una tremenda cantidad de información, no solamente para la localización de unos animales particulares, sino también para estudiar su comportamiento actual. El humano como hacedor de herramientas tenia un interés especial en darle forma a objetos que van desde pequeños objetos afilados hasta hachas, desde talismanes diminutos hasta grandes refugios. Obviamente estas ideas están enlazadas por igual con ideas matemáticas como artísticas(no nos vamos a meter en trucos terminológicos así que siéntase libre para reemplazar "matemáticas" por "proto-matemáticas" si quiere). En tiempos prehistóricos las ideas matemáticas y artísticas no estaban separadas, sino que formaban una unidad sincrética.

Veamos el proceso de separación y después algunos pasos interesantes en el desarrollo de las matemáticas y las artes visuales, incluyendo algunas "coincidencias" entre ambas. Como veremos estas coincidencias no ocurren por casualidad.